Cara Mengerjakan Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Berdasarkan konsep nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak, yang telah kita pelajari pada tulisan Cara Mengerjakan Soal Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel, kita akan mempelajari bagaimana konsep pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel dan bagaimana menyelesaikannya.

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Seperti lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas perhubungan, dan sebagainya. Selanjutnya, kita akan mengaplikasikan konsep nilai mutlak ke dalam pertidaksamaan linear dengan memahami dan meneliti kasus berikut ini.

"Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil di suhu 34°Cmaka harus dimasukkan ke inkubator selama 2 hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara 32°C hingga 35°C. Bayi tersebut lahir dengan BB seberat 2.100-2.500 gram. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0,2°C, tentukan interval perubahan suhu inkubator!"

Pada kasus tersebut di atas, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harus dipertahankan selama 1-2 hari semenjak kelahiran, yaitu 34°C. Misalkan t adalah segala kemungkinan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh suhu ruang, dengan perubahan yang diharapkan sebesar 0,2°C. Nilai mutlak suhu tersebut dapat dimodelkan, yaitu sebagai berikut.
|t – 34| ≤ 0,2 

Dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, $|t – 34|$ ditulis menjadi:
$ |t-34| \begin{cases} t-34, & \mbox{jika} \ t \ge 34 \\ -(t-34), & \mbox{jika} \ t <34 \end{cases} $

Akibatnya, $|t – 34| ≤ 0,2$ berubah menjadi
$t – 34 ≤ 0,2$ dan $–(t – 34) ≤ 0,2$ atau $t – 34 ≤ 0,2$ dan $(t – 34) ≥ -0,2$ atau dituliskan menjadi:
|t – 34| ≤ 0,2 
⇔ –0,2 ≤ t – 34 ≤ 0,2 
⇔ 33,8 ≤ t ≤ 34,2 

Dengan demikian, interval perubahan suhu inkubator adalah $\{t| \ 33,8 ≤ t ≤ 34,2\}$. Jadi, perubahan suhu inkubator itu bergerak dari 33,8°C sampai dengan 34,2°C.

Secara umum, untuk setiap x, a∈R, pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel dapat disajikan dalam bentuk berikut ini.
|x| ≤ a untuk a ≥ 0 
|x| ≥ a untuk a ≥ 0

Ingat pada teori sebelumnya bahwa nilai mutlak tidak pernah bernilai negatif. Jika demikian, menurut pendapatmu apa yang akan terjadi pada bentuk umum di atas jika a<0? Berikutnya, mari kita temukan penyelesaian dari bentuk umum pertidaksamaan nilai mutlak linear |x|≤a dan |x|≥a untuk a≥0, a∈R.
  • Kasus 1, |x|≤a untuk a≥0, a∈R 
Dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, maka:
untuk x≥0, maka |x|=x sehingga x≤a
untuk x<0, maka |x|=–x sehingga –x≤a atau x≥ –a.
Dengan demikian, penyelesaian dari |x|≤a untuk a≥0, a∈R adalah x≤a dan x≥–a (atau sering dituliskan dengan –a ≤ x ≤ a).
Jadi, menyelesaikan |x| ≤ a setara dengan menyelesaikan –a ≤ x ≤ a.
  • Kasus 2, |x|≥ a untuk a≥0, a∈R 
Dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, maka
untuk x≥0, maka |x|=x sehingga x≥a
untuk x < 0, maka |x| = –x sehingga –x ≥ a atau x ≤ –a

Dengan demikian, penyelesaian dari |x|≥ a untuk a≥0, a∈R, adalah x≤–a atau x≥a.
Jadi, menyelesaikan |x|≥a setara dengan menyelesaikan x≥a atau x≤-a.
Dari masalah-masalah dan penyelesaian di atas, maka dapat ditarik kesimpulan sifat pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.

Sifat: Untuk setiap a, x bilangan real.
1. Jika a≥0 dan |x|≤ a, maka –a≤x≤ a.
2. Jika a<0 dan |x|≤a, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi  pertidaksamaan.
3. Jika |x|≥a, dan a>0 maka x≥a atau x≤–a.

Buktikan $|x + y|≤ |x| + |y|$
Bukti:
Untuk x, y bilangan real,
$|x| ≤ |y| ⇔ –|y| ≤ x ≤ |y|$
Untuk x, y bilangan real,
$|y| ≤ |x| ⇔ –|x| ≤ y ≤ |x| $
Dari kedua pernyataan di atas, maka diperoleh:
–(|x| + |y|) < x + y ≤ (|x| + |y|)
⇔ |x + y| ≤ |x| + |y|

Contoh soal: Selesaikanlah pertidaksamaan $|2x +1| ≥ |x – 3|$

Gunakan $|x| = \sqrt{x^2} $. Bentuk ini bukan linear, tetapi disajikan sebagai alternatif penyelesaian.

Langkah 1: Ingat bahwa $|x |= \sqrt{x^2} $, sehingga
|2x + 1| ≥ |x – 3|
 ⇔ $\sqrt{(2x+1)^2} ≥ \sqrt{(x-3)^2} $
 ⇔ $(2x + 1)^2 ≥ (x – 3)^2$
 ⇔ $4x^2 + 4x + 1 ≥ x^2 – 6x + 9$
 ⇔ $3x^2 + 10x – 8 ≥ 0$ (bentuk kuadrat)
 ⇔ $(3x – 2)(x + 4) ≥ 0$

Langkah 2: Menentukan pembuat nol, yaitu $x = \frac{2}{3} $ atau $x = –4$.

Langkah 3: Letakkan pembuat nol dan tanda pada garis bilangan
Langkah 4: Menentukan interval penyelesaian. Dalam hal ini, interval penyelesaian merupakan selang nilai $x $ yang membuat pertidaksamaan bernilai non-negatif, sesuai dengan tanda pertidaksamaan pada soal di atas. Dengan demikian, arsiran pada interval di bawah ini adalah penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
Langkah 5: Menuliskan kembali interval penyelesaian.
$HP=\{x| \ x \le -4 \ atau \ x \ge \frac{2}{3} \}$

Perhatikan grafik berikut. Kita akan menggambarkan grafik $y = |2x + 1|$ dan grafik $y = |x – 3|$, untuk setiap x∈R.
Pertidaksamaan $|2x + 1| ≥ |x – 3|$ dapat dibaca menjadi nilai $y = |2x + 1|$ lebih besar $y = |x – 3|$ dan berdasarkan grafik dapat dilihat pada interval $\{x| \ x \le -4 \ atau \ x \ge \frac{2}{3} \}$

Demikian pembahasan cara mengerjakan soal pertidaksamaan nilai mutlak linier satu variabel. Materi lengkapnya, unduh ebook Matematika SMA Kelas 10 Kurikulum 2013 DI SINI.

Berlangganan Update Artikel Terbaru

0 Response to "Cara Mengerjakan Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel "

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

close

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel