Cara Mengerjakan Soal Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Pada tulisan ini, kita akan mempelajari cara mengerjakan soal persamaan nilai mutlak yang sederhana, yaitu persamaan yang memuat nilai mutlak bentuk linear satu variabel. Untuk dapat mengerjakan soal tersebut, kita harus dapat:
  1. Memahami konsep nilai mutlak.
  2. Mampu menyelesaikan persamaan linier satu variabel.
1. Konsep Nilai Mutlak
Kita mulai membahas konsep nilai mutlak dengan ilustrasi cerita berikut ini.

Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya 1 langkah lagi ke belakang. Secara matematis, ilustrasi ini dapat dinyatakan sebagai berikut.
Kita definisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif. Dengan demikian, lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu  x negatif.
Perhatikan sketsa berikut.

Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x=0 adalah posisi diam si anak. Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan langkah pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif atau +2). Anak panah kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif atau –3) dari posisi akhir langkah pertama. Demikian seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah kelima. Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang (x = –1 atau x = (+2) + (–3) + (+2) + (–1) + (–1) = –1), tetapi banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep nilai mutlak. Kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya, sehingga banyak langkahnya adalah |2| + |–3| + |2| + |–1| + |–1| = 9 (atau 9 langkah).

Perhatikan tabel berikut.

Berdasarkan cerita dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik suatu kesimpulan tentang pengertian nilai mutlak? Jika x adalah variabel pengganti sebarang bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak dari x tersebut?

Perhatikan bahwa x anggota himpunan bilangan real (ditulis x∈R). Berdasarkan tabel, kita melihat bahwa nilai mutlak dari x akan bernilai positif atau nol (non negatif). Secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Dengan demikian, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja bernilai nol.

Ada beberapa contoh percobaan perpindahan posisi pada garis bilangan, yaitu sebagai berikut.
Catatan:
  • Garis bilangan digunakan sebagai media untuk menunjukkan nilai mutlak.
  • Tanda panah digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif, dan begitu juga sebaliknya. Arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif. 
  • Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol.
Penjelasan:
  • Garis bilangan 1: Tanda panah bergerak ke arah kanan berawal dari bilangan 0 menuju bilangan 3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti nilai |3| = 3 atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0.
  • Garis bilangan 5: Tanda panah bergerak ke arah kiri berawal dari bilangan 0 menuju bilangan –3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti bahwa nilai |–3| = 3 atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0.
Dari kedua penjelasan di atas, dapat dituliskan konsep nilai mutlak, sebagai berikut.
Definisi:
Misalkan x bilangan real, |x| dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan: 
$|x| = \begin{cases} x, & \mbox{jika} \ x \ge 0 \\ -x, & \mbox{jika} \ x  < 0 \end{cases} $
Definisi di atas dapat diungkapkan dengan kalimat sehari-hari seperti berikut ini. Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa:

a) $ | \frac{1}{2} | = \frac{1}{2}$, karena  $ \frac{1}{2} >0$ ($\frac{1}{2}$ adalah bilangan positif).
b) |5| = 5, karena 5 > 0 (5 adalah bilangan positif).
c) |–3| = –(–3) = 3, karena –3 < 0 (–3 adalah bilangan negatif).

2. Persamaan Linear Satu Variabel 
Dalam matematika, persamaan adalah kalimat terbuka matematika yang menggunakan relasi sama dengan (=). Contohnya, $x^2 − 1 = 0$ yang secara khusus dikenal dengan persamaan kuadrat. Sedangkan contoh persamaan linier satu variabel (PLSV) adalah $x + 1 = 3$ dimana x merupakan satu-satunya variabel/peubah dan pangkat tertinggi dari variabel itu adalah 1 (satu) sehingga disebut persamaan linier satu variabel (PLSV).

Menyelesaikan PLSV adalah mencari nilai x sehingga ketika disubstitusikan ke PLSV tersebut menjadi kalimat yang benar. Persamaan $x+1=3$ memiliki solusi atau penyelesaian $x=2$ karena (2)+1=3 bernilai benar. Untuk selengkapnya baca Cara Mengerjakan Soal PLSV.

3. Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel 
Pada bagian ini, kita akan mengkaji bentuk persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan strategi menyelesaikannya. Untuk memulainya, mari kita cermati pembahasan masalah berikut ini.

Tentukan nilai x (jika ada) yang memenuhi setiap persamaan berikut ini.
1. |2x – 1| = 7
2. |x + 5| = –6
3. |(4x –8)| = 0
4. –5|3x – 7| + 4 = 14
5. |2x – 1| = |x + 3|

Jawab:
1. Kita ubah bentuk |2x – 1| menggunakan definisi nilai mutlak. Pembuat nol dari 2x – 1 adalah $\frac{1}{2} $ sehingga:
$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1, & \mbox{jika} \ x \ge \frac{1}{2} \\ -(2x-1), & \mbox{jika} \ x  < \frac{1}{2} \end{cases} $
Akibatnya diperoleh 2 persamaan, yaitu sebagai berikut.
Untuk $x ≥ \frac{1}{2}$
$\begin{align} 2x – 1 &= 7 \\ 2x &= 7 + 1, \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \end{align} $
Untuk $x < \frac{1}{2}$
$\begin{align} -(2x – 1) &= 7 \\ -2x+1 &=7 \\ -2x &= 7 - 1, \\ -2x &= 6 \\ x &= -3 \end{align} $
Jadi, nilai x = 4 atau x = –3 memenuhi persamaan nilai mutlak |2x – 1| = 7.

2. Tidak ada $x \in R $ yang memenuhi persamaan |x+5|=-6.

3. Persamaan $|(4x – 8)| = 0$ berlaku untuk $4x – 8 = 0$ atau $4x = 8$. Jadi, $x = 2 $ memenuhi persamaan $|4x – 8| = 0$.

4. Persamaan $–5|3x – 7|+ 4=14$ ⇔ $|3x – 7|= –2$. Bentuk $|3x – 7|=–2$ bukan suatu persamaan, karena tidak ada $x$ bilangan real, sehingga $|3x – 7| = –2$.

5. Ubah bentuk $|2x – 1|$ dan $|x + 3|$ dengan menggunakan Definisi Nilai Mutlak, sehingga diperoleh:

$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1, & \mbox{jika} \ x \ge \frac{1}{2} \\ -(2x-1), & \mbox{jika} \ x  < \frac{1}{2} \end{cases} \ \ \ \  (1.1 )$

$|x+3| = \begin{cases} x+3, & \mbox{jika} \ x \ge -3 \\ -(x+3), & \mbox{jika} \ x  < -3 \end{cases}  \ \ \ \ (1.2)$

Berdasarkan sifat persamaan, bentuk $|2x – 1| = |x + 3|$, dapat dinyatakan menjadi $|2x –1| – |x + 3| = 0$. Artinya, sesuai dengan konsep dasar “mengurang”, kita dapat mengurang |2x – 1| dengan |x + 3| jika syarat $x$ sama. Sekarang, kita harus memikirkan strategi agar |2x – 1| dan |x + 3| memiliki syarat yang sama. Syarat tersebut kita peroleh berdasarkan garis bilangan berikut.



Akibatnya, untuk menyelesaikan persamaan $|2x – 1| – |x + 3| = 0$, kita fokus pada tiga kemungkinan syarat x, yaitu $x ≥ \frac{1}{2} $ atau $–3 ≤ x < \frac{1}{2}$ atau   $x < –3$.


➢ Kemungkinan 1, untuk $x ≥ \frac{1}{2} $ maka persamaan $|2x – 1| – |x + 3| = 0 $ menjadi $(2x – 1) – (x + 3) = 0$ atau $x = 4$. Karena $x ≥ \frac{1}{2} $, maka $x = 4$ memenuhi persamaan.

➢ Kemungkinan 2, untuk $–3 ≤ x < \frac{1}{2}$ maka persamaan  $|2x – 1| – |x + 3| = 0$ menjadi $–2x + 1 – (x + 3) = 0$ atau $x = - \frac {2}{3}$. Karena $–3 ≤ x < \frac{1}{2}$ maka $x = – \frac{2}{3}$ memenuhi persamaan.

➢ Kemungkinan 3,   $x < –3$ maka persamaan  $|2x – 1| – |x + 3| = 0$ menjadi $–2x + 1 – (–x – 3) = 0$ atau $x = 4$. Karena $x < –3$, maka tidak ada nilai $x$ yang memenuhi persamaan.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $|2x – 1| = |x + 3|$ adalah $x = 4$ atau $x = – \frac{2}{3} $.

Demikian pembahasan cara mengerjakan soal persamaan nilai mutlak linier satu variabel. Materi lengkapnya, unduh ebook Matematika SMA Kelas 10 Kurikulum 2013 DI SINI.

Berlangganan Update Artikel Terbaru

0 Response to "Cara Mengerjakan Soal Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel "

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

close

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel