Cara Mengerjakan Soal Limit Fungsi

Perkataan limit sudah sering kita dengar dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya seseorang berkata, “Batas kesabaran saya sudah hampir habis” atau “Kartu kredit yang Anda gunakan hampir mendekati limit.” Kata-kata seperti batas, hampir, dan limit memiliki makna menuju atau mendekati sesuatu, teramat dekat, tetapi tidak dapat mencapai atau tidak dapat tepat sama. Penggunaan kata-kata tersebut memiliki hubungan dengan kata limit yang akan kita pelajari berikut ini.

Memahami Konsep Limit Fungsi di Suatu Titik

Limit merupakan konsep dasar untuk materi kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Dalam bahasa matematika, limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika didekati dari titik tertentu, Mengapa harus didekati dari titik tertentu dan bukan tepat di titik tertentu tersebut? Hal ini disebabkan tidak semua fungsi memiliki nilai pada semua titik. Misalnya, fungsi $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$ tidak memiliki nilai (arti) pada x=1 sebab f(1) memiliki nilai yang tidak tentu yaitu 0/0. Apabila kita mengambil nilai-nilai x dari yang lebih besar dari 1 (dari arah kanan) dan lebih kecil dari 1 (dari arah kiri) mendekati 1 maka nilai f(x) tersebut cenderung mendekati nilai 2. Nilai 2 ini disebut nilai limit dari fungsi $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$ ketika x mendekati 1 dari arah kiri dan kanan. Selanjutnya nilai limit dari fungsi tersebut disebut dengan limit fungsi $f(x)= \frac{x^2-1}{x-1}$. Secara matematika ditulis:
$\lim_{x \rightarrow 1} f(x)= \frac{x^2-1}{x-1} =2$.

Suatu fungsi f(x) dikatakan memiliki nilai limit pada titik x=a apabila limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri sama dengan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan. Misalkan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri adalah $L_1$ dan limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan adalah $L_2$. Apabila $L_1 \neq L_2$ maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada. Sebaliknya, apabila $L_1 = L_2=L$ maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L. Secara matematis, pengertian limit fungsi tersebut diberikan pada definisi berikut ini.
Definisi: Suatu fungsi y=f(x) didefinisikan untuk x di sekitar a (selanjutnya a disebut titik limit), maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=L$ jika dan hanya jika $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x)=\lim_{x \rightarrow a^+} f(x)=L$.
Dari definisi limit fungsi di atas, pencarian limit fungsi dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan numerik seperti menyusun tabel nilai fungsi dengan menggambil domain fungsi dari sebelah kiri dan kanan suatu titik limit; dan pendekatan grafik fungsi yaitu melihat gambar  grafik fungsi tersebut baik dari arah sebelah kiri maupun dari sebelah kanan titik limit untuk mengetahui secara intuisi nilai limit fungsi tersebut ada atau tidak ada.

Mampu MenerapkanTeorema Limit Utama

Berikut ini adalah teorema-teorema limit yang berguna dalam menentukan limit suatu fungsi. Karena fungsi yang ingin ditentukan limitnya dapat berupa jumlah, selisi, kali, dan bagi dari fungsi-fungsi yang telah diketahui limitnya. Karena jika kita hanya menggunakan pendekatan numerik atau grafik ini sangatlah tidak efisien dan efektif.
  1. Jika f(x)=k maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=k$ (untuk setiap k konstan dan a bilangan real).
  2. Jika k suatu konstan maka $\lim_{x \rightarrow a} k.f(x)=k \ \lim_{x \rightarrow a} f(x)$
  3. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) + g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) + \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
  4. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) - g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) - \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
  5. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x) \times g(x)] =\lim_{x \rightarrow a} f(x) \times \lim_{x \rightarrow a} g(x)$
  6. $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}{ \lim_{x \rightarrow a} g(x)}$
  7. $\lim_{x \rightarrow a} [f(x)]^n=[ \lim_{x \rightarrow a} f(x)]^n$
  8. $\lim_{x \rightarrow a} {^n\sqrt{f(x)}}= {^n\sqrt{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}}$

Menentukan Limit Fungsi Aljabar

Bentuk $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$

Menentukan $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ dapat dilakukan dengan metode substitusi langsung yakni mencari nilai fungsi f(x) pada x=a. Karena, jika f(x) memiliki nilai yang berarti pada x=a (terdefinisi pada x=a) maka $\lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$. Untuk memahami cara menentukan limit fungsi aljabar dengan metode substitusi langsung dengan contoh soalnya silahkan baca Cara Mudah dan Cepat Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar | Matematika Ku Bisa.

Bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$

Untuk menentukan $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$, pertama-tama kita harus memahami mengapa $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$. Kita pahaminya secara intuisi bahwa jika 1 dibagi bilangan yang banyak menuju tak-hingga maka hasilnya cenderung menuju 0. Perhatikan gambar grafik fungsi $f(x)= \frac{1}{x}$ berikut ini, ketika $x \rightarrow \infty$ maka $f(x) \rightarrow 0$


Karena $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0$ maka untuk setiap n bilangan positif dan a bilangan real, $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a}{x^n}=0$. Dengan pengetahuan ini, menentukan limit fungsi aljabar berbentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$  (bentuk tertentu) dilakukan dengan cara membagi bagian pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan $x^n$, dimana n adalah pangkat tertinggi dari f(x) atau g(x).
Contoh soal:
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+3x-1}{x+2}$
Penyelesaian:
$\begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2+3x-1}{x+2} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2x^2+3x-1}{x^2}}{\frac{x+2}{x^2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2+\frac{3}{x}- \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}} \\ &=  \infty \end{align}$
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(1-2x)^2}{\sqrt{8x^4-1}}$
Penyelesaian:
$\begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{ (1-2x)^2}{\sqrt{8x^4-1}} &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{(1-2x)^2}{x^2}}{\frac{\sqrt{8x^4-1}}{x^2}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1-2x}{x})^2}{\frac{\sqrt{8x^4-1}}{\sqrt{x^4}}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1}{x}- 2)^2}{\sqrt{8- \frac{1}{x^4}}} \\ &= \frac{4}{ \sqrt{8}} \\ &= \frac{4}{ 2 \sqrt{2}} \\ &= \frac{2}{ \sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2} \end{align}$

Bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}]$

Limit fungsi yang berbentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}]$ dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan faktor lawan, yaitu $\frac{\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)}}{\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)}}$ sehingga menjadi bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{j(x)}{k(x)}$.
Contoh soal:
$\lim_{x \rightarrow \infty} [ \sqrt{2x-1} – \sqrt{3x+5}]$
Penyelesaian:
$\begin{align} & \lim_{x \rightarrow \infty} [ \sqrt{2x-1} – \sqrt{3x+5} \ ]  \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} [ \sqrt{2x-1} – \sqrt{3x+5} ] \times \frac{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}}{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{{2x-1} – (3x+5)}{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}} \\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x-6}{\sqrt{2x-1}+ \sqrt{3x+5}} = – \infty \end{align}$

Bentuk $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} \ ]$

Bentuk ini sering muncul dalam soal ujian nasional SMA/sederajat dan dapat diselesaikan dengan cepat menggunakan ketentuan sebagai berikut.
1. Jika a=p maka $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} ] = \frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
2. Jika a>p maka $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} ] = \infty$
3. Jika a<p maka $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{ax^2+bx+c} – \sqrt{px^2+qx+r} ] = -\infty$
Contoh soal:
Hitunglah $\lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{3x^2-4x+8} – \sqrt{3x^2-2x+7}]$
Penyelesaian:
Karena a=p maka
$\begin{align} \lim_{x \rightarrow \infty} [\sqrt{3x^2-4x+8} – \sqrt{3x^2-2x+7}] &= \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\ &=\frac{-4-(-2)}{2\sqrt{3}} \\ &=\frac{-2}{2\sqrt{3}} \\ &= - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ &= - \frac{\sqrt{3}}{3} \end{align}$

Menentukan Limit Fungsi Trigonometri

Dalam beberapa kasus, penyelesaian limit fungsi trigonometri hampir sama dengan penyelesaian limit fungsi aljabar, misalnya dengan metode substitusi langsung. Jika metode substitusi langsung menghasilkan nilai yang tak tentu maka dilakukan dengan metode pemfaktoran sehingga tidak berbentuk tak tentu lagi. Rumus-rumus trigonometri yang telah Anda pelajari dan teorema limit utama berguna dalam menyelesaikan limit-limit fungsi trigonometri.
Contoh soal:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} sin \ x = sin \ \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$
$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} (cos^2 \ x - sin^2 \ x ) &= (\lim_{x \rightarrow 0} cos \ x)^2 – (\lim_{x \rightarrow 0} sin \ x)^2 \\ & = (1)^2-(0)^2 \\ &=1 \end{align}$
Karena $sin \ 2x=2sin \ x \ cos \ x$ maka
$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{sin \ 2x} &=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{2sin \ x \ cos \ x} \\ & =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2 \ cos \ x} \\ &= \frac{1}{2 \ cos \ (0)} \\ & = \frac{1}{2.1} \\ &=\frac{1}{2} \end{align}$

Limit-limit fungsi trigonometri dapat pula diselesaikan dengan menggunakan rumus. Rumus-rumus fungsi trigonometri yang dimaksud itu adalah:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x}=1$
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x}=1$
Rumus-rumus limit fungsi trigonometri dasar dia atas dapat diperluas. Misalkan u adalah fungsi dari x dan jika $x \rightarrow 0$ maka $u \rightarrow 0$, sehingga rumus-rumus tersebut dapat ditulisakan menjadi:
$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin \ u}{u}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{sin \ u}=1$
$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{tan \ u}{u}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{tan \ u}=1$
Contoh soal:
$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{1 – cos \ x}{x^2}$
Penyelesaian:
Kalau kita lakukan metode substitusi langsung, ternyata hasilnya berbentuk tak-tentu 0/0. Soal ini bisa diselesaikan dengan memanfaatkan kesamaan trigonometri $cos \ 2x=1 – 2 \ sin^2 \ x$ untuk merubah $1 – cos \ x$ agar kita dapat menggunakan rumus $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin \ u}{u}=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{u}{sin \ u}=1$. Karena $cos \ 2x=1 – 2 \ sin^2 \ x$ maka   $cos \ x =1 – 2 \ sin^2 \ (\frac{1}{2}x) \Leftrightarrow 1-cos \ x =2 \ sin^2 \ (\frac{1}{2}x) $, dan dengan memisalkan $u= \frac{1}{2}x$ maka
$\begin{align} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – cos \ x}{x^2} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \ sin^2 \ \frac{1}{2}x}{x^2} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \ sin^2 \ \frac{1}{2}x}{x^2} \times \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \ \frac{sin^2 \ \frac{1}{2}x}{(\frac{1}{2}x)^2} \\ &= \lim_{u \rightarrow 0} \frac{1}{2} \ \frac{sin^2 \ u}{u^2} \\ &=\frac{1}{2} \lim_{u \rightarrow 0} (\frac{sin \ u}{u})^2 \\ &=\frac{1}{2} (\lim_{u \rightarrow 0} \frac{sin \ u}{u})^2  \\ & = \frac{1}{2} . (1)^2 \\ &=\frac{1}{2} \end{align}$

Berlangganan Update Artikel Terbaru

0 Response to "Cara Mengerjakan Soal Limit Fungsi"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

close

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel