Cara Kerja Soal Matematika

Cara Mengerjakan Soal Integral Substitusi



Integral substitusi merupakan salah satu teknik integrasi yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal integral, baik integral tak-tentu maupun integral tentu. Apabila teknik integral substitusi tidak dapat dilakukan dalam menyelesaikan soal-soal integrasi tersebut, ada teknik yan kedua yang dapat digunakan yaitu teknik integral parsial (Selengkapnya baca di Cara Mengerjakan Soal Integral Parsial). Keefektifan menggunakan metode substitusi ini tergantung pada ketersediaan daftar integral-integral yang sudah dikenal. Untuk itu, kami berpendapat bahwa kalian harus menghapalkan daftar integral-integral yang sudah dikenal tersebut. Di antaranya adalah sebagai berikut.

Bentuk Integral Baku

  1. $\int \ k \ dx =kx+C$
  2. $\int x^n \ dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
  3. $\int \frac{1}{x} \ dx=ln \ x + C$
  4. $\int e^x \ dx=e^x+C$
  5. $\int a^x \ dx= \frac{a^x}{ln \ a}+C, \ a \neq 1, \ a>0$
  6. $\int \sin x \ dx=- \cos x+C$
  7. $\int \cos  x \ dx= \sin  x+C$
  8. $\int \sec^2  x \ dx= \tan  x+C$
  9. $\int \csc^2  x \ dx=- \cot  u+C$
  10. $\int \sec  x \tan  x \ dx=sec  x+C$
  11. $\int \csc  x \cot  x \ dx= \sec  x+C$
  12. $\int \tan  x \ dx=- \ln| \cos  x|+C$
  13. $\int \cot  x \ dx= \ln| \sin \ x|+C$
  14. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \ dx= \sin^{-1} \ (\frac{x}{a})+C$
  15. $\int \frac{1}{a^2+x^2} \ dx= \frac{1}{a} \tan^{-1} \ (\frac{x}{a})+C$
  16. $\int \frac{1}{x\sqrt{a^2-x^2}} \ dx= \frac{1}{a} \sec^{-1} \ (\frac{|x|}{a})+C$
  17. $\int \sinh  x \ dx= \cosh \ x+C$
  18. $\int \cosh x \ dx= \sinh \ x+C$

Substitusi dalam Integral Tak-Tentu

Misalkan kita menghadapi suatu integral tak tentu dalam bentuk baku, cukup tuliskan jawabannya. Jika bukan, carilah suatu substitusi yang akan mengubahnya menjadi bentuk baku. Jika substitusi yang kita coba tidak berhasil, cobahlah yang lain. Kemampuan untuk melakukan ini membutuhkan banyak latihan.
Teorema: Misalkan g adalah fungsi yang terdiferensiasikan dan misalkan F adalah anti-turunan f. Maka, jika u=g(x),
$\int f(g(x))g’(x) \ dx= \int f(u) \ du=F(u)+C=F(g(x))+C$.
Contoh soal: Carilah $\int \frac{x}{cos^2 (x^2)} \ dx$
Penyelesaian:
$\int \frac{x}{cos^2 (x^2)} \ dx= \int x \ sec^2 (x^2) \ dx$
Misalkan $u=x^2$
Maka,
$\begin{align} \frac{du}{dx} &=2x \\ \frac{1}{2} du &=x \ dx \end{align}$
Sehingga,
$\begin{align} \int \frac{x}{cos^2 \ (x^2)} \ dx &= \int x \ sec^2 \ (x^2) \ dx \\ &= \int sec^2 \ (x^2) \ x \ dx \\ &= \int sec^2 \ (u) \frac{1}{2} du \\ &= \frac{1}{2} \int sec^2 \ (u) \ du \\ &= \frac{1}{2} tan \ u+C \\ &= \frac{1}{2} tan \ (x^2)+C \end{align}$

Substitusi dalam Integral Tentu

Ini sama saja seperti substitusi dalam integral tak-tentu,  tetapi kita harus ingat untuk melakukan perubahan yang sesuai dalam limit-limit integrasi.
Contoh soal: Hitunglah $\int_{2}^5 t \sqrt{t^2-4} \ dt$
Penyelesaian:
Misalkan $u=t^2-4$
Maka,
$\begin{align} \frac{du}{dt} &=2t \\ \frac{1}{2} du &=t \ dt \end{align}$
$\begin{align} t=2 \rightarrow u &= (2)^2-4 \\ u &=0 \end{align}$
$\begin{align} t=5 \rightarrow u &= (5)^2-4 \\ u &=21 \end{align}$
Sehingga,
$\begin{align} \int_{2}^5 t \sqrt{t^2-4} \ dt &= \int_{2}^5  \sqrt{t^2-4} \ t \ dt \\ &= \int_{0}^{21} \sqrt{u} \frac{1}{2} du \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{21} u^{\frac{1}{2}} \ du \\ &= \frac{1}{2} (\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}) ]_{0}^{21} \\ &=\frac{1}{3} u \sqrt{u} ]_{0}^{21} \\ &= \frac{1}{3} (21) \sqrt{21} - \frac{1}{3} (0) \sqrt{0} \\ &=7 \sqrt{21} \end{align}$
Substitusi yang dibahas ini adalah substitusi versi ke-1, ada substitusi versi kedua. Insya Allah akan dilanjutkan bahasannya. 

Berlangganan Update Artikel Terbaru via Email:

No comments:

Post a Comment

Mau Tahu Cara Pintar Belajar Matematika? Cari Tahu Sekarang! KLIK DI SINI!

Contact Form

Name

Email *

Message *

Copyright © Cara Kerja Soal. All rights reserved. Template by CB. Theme Framework: Responsive Design