Cara Mengerjakan Soal Bilangan Berpangkat

Mengerjakan soal-soal bilangan berpangkat ialah bagaimana menerapkan sifat-sifat yang ada pada bilangan berpangkat. Karena itu, untuk dapat mengerjakan soal bilangan berpangkat kita harus memahami definisi bilangan berpangkat dan mengetahui bagaimana menunjukkan sifat-sifat bilangan berpangakat tersebut sehingga menghapal sifat-sifatnya menjadi lebih mudah.

Definisi Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat bulat positif ($n \in Z^+$) berikut ini, $a$ disebut basis bilangan atau bilangan pokok  dan $n$ disebut pangkat didefinisikan sebagai berikut.
$a^n=\underbrace{a \times a \times a \times … \times a}_{\mbox{n faktor}}$ ; $a \in R$
Sedangkan pangkat bulat negatif  didefinisikan sebagai berikut.
$\begin{align} a^{-m} &=(\frac{1}{a})^m \\ &=\frac{1}{a^m} \end{align}$ ;$a \in R$
Contoh:
  1. $2^3=2 \times 2 \times 2 =8$
  2. $(-4)^3=(-4) \times (-4) \times (-4)=-64$
  3. $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Pangkat Nol

Tidak semua bilangan real yang dipangkatkan dengan 0 hasilnya adalah 1. Akan tetapi, ada pengecualian bahwa hal tersebut tidak berlaku untuk 0. Jadi, untuk setiap $a \in R$; $a \neq 1$ berlaku:
$a^0=1$
Bukti:
$\begin{align} \frac{a^n}{a^n} &=1 \\ \Leftrightarrow a^{n-n} &=1 \\ \Leftrightarrow a^{0} &=1 \end{align}$

Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif

Jika $a \in R$, m dan n bilangan asli maka
  1. $a^m \times a^n=a^{m+n}$
  2. $a^m : a^n=a^{m-n}$
  3. $(a^m)^n=a^{mn}$
  4. $(a \times b)^n=a^nb^n$
  5. $(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}; \ \ b \neq 0$

Sifat-sifat Pangkat Pecahan

  1. $(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}})=a^{\frac{m+p}{n}}$
  2. $(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}})=a^{\frac{m}{n} +\frac{p}{q}}$

Contoh-contoh Soal

Contoh soal sekolah:
1. $2^2 \times 2^5=2^{2+5}=2^{7}$
2. $(2^3)^2=2^6$
3. $(\frac{2}{3})^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$

Contoh soal SNMPTN: Bilangan berikut yang nilainya terbesar adalah…
a. 777  
b. $7^{77}$  
c. $(77)^7$  
d. $(7^7)^7$
e. $(7 \times 7)^7$
Jawaban B
Kita gunakan sifat-sifat bilangan berpangkat untuk menjawab soal tersebut.
a. $777=7.111<7.11^2$
b. $7^{77} =7^{57}.7^{18}.7^2=7^{57}.7^{18}.49$
c. $77^7=(7.11)^7==7^7.11^7=7^7. 11^6.11$
d. $(7^7)^7=7^{49}$
e. $(7 \times 7)^7=(7^2)^7=7^{14}$
Perhatikan bahwa $7^{77}>7^{49}>7^{14}$, oleh karena itu $b>d>e$. Karena $7^3>11^2$ maka $7^{57}.7^{18}.49>7^7. 11^6.11>7.11^2>7.111$, sehingga $b>c>a$.

Contoh soal olimpiade: Tentukan angka satuan dari $7^{1234}$
Solusi:
Perhatikan pola berikut ini!
$\begin{align}7^1 &=7 \\ 7^{2} &=…9 \\ 7^{3} &=…3 \\ 7^{4} &=…1 \\ 7^{5} &=…7 \\ 7^{6} &=…9 \\ 7^{7} &=…3 \\ 7^{8} &=…1 \end{align}$
Berdasarkan pola tersebut dan dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat diperoleh:
$\begin{align} 7^{1234} &=7^{(4 \times 308)} \times 7^2 \\ &=(7^4)^{308} \times 7^2 \end{align}$.
Karena satuan dari $7^4$ adalah 1 dan $7^2$ adalah 9 maka angka satuan dari $7^{1234}$ adalah $1 \times 9=9$.

Berlangganan Update Artikel Terbaru

0 Response to "Cara Mengerjakan Soal Bilangan Berpangkat"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel