Sunday, 28 May 2017

Cara Mengerjakan Soal Integral Parsial

Jika kita telah mempelajari metode integral substitusi yang terdiri dari dua versi, kurang lengkap jika tidak mempelajari metode integral parsial. Karena kedua metode ini sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal integral baik integral tentu maupun integral tak-tentu. Jika integrasi menggunakan substitusi gagal, kita mungkin saja dapat menggunakan substitusi ganda (double substitution), yang lebih dikenal sebagai integral parsial. Metode ini didasarkan pada integrasi dari rumus untuk turunan dari hasil kali dua fungsi. Misalkan $u=u(x)$ dan $v=v(x)$, maka:
$D_x[u.v]=u.v’+v.u’$
atau
$u.v’=D_x[u.v]-v.u’$
Dengan mengintegrasi kedua ruas persamaan tersebut, kita peroleh
$\int uv’ \ dx= uv – \int vu’ \ dx$
Karena $dv=v’ \ dx$ dan u$du=u’ \ dx$, persamaan di atas biasanya ditulis dengan lambang sebagai berikut.
$ \int u \ dv=uv - \int v \ du$
Rumus yang berpadanan dengan integral tentu adalah:
$ \int_{a}^{b} u \ dv=[uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v \ du$
Contoh soal: Carilah $\int x \ cos \ x \ dx$
Penyelesaian:
Soal tersbut memang tidak bisa dikerjakan dengan menggunakan metode substitusi. Kita ingin menuliskan $x \ cos \ x dx$ sebagai $u \ dv$. Kemungkinannya ialah memisalkan $u=x$ dan $dv=cos \ x \ dx$ atau $u=cos \ x$ dan $dv=x \ dx$. Kita harus pintar memilih diantara keduanya manakah yang lebih tepat. Untuk menentukan mana yang harus $u$ dan $dv$, kalian bisa membaca caranya di tulisan lain yang berjudul Memilih u dan dv dalam Integral Parsial, blog Matematika Ku Bisa.
Misalkan, $u=x$ dan $dv=cos \ x \ dx$
Maka,
$du=dx$ dan
$\begin{align} v &=\int cos \ x \ dx \\ &= sin \ x \end{align}$
Sehingga,
$\begin{align} \int \underbrace{x}_u \ \underbrace{cos \ x \ dx}_{dv} &=\underbrace{x}_{u} \ \underbrace{sin \ x}_{v} - \int \underbrace {sin \ x}_{v} \ \underbrace{dx}_{du} \\ &= x \ sin \ x \ - (-cos \ x) +C \\ &= x \ sin \ x + cos \ x +C \end{align}$

0 komentar

Post a Comment

Paling Dilihat